Deze verzameling columns heet de stelling van Gödel. De stelling van Gödel is een rek. Een oneindig groot, boomvormig rek. Maar niettemin een beperkt rek. Want er bestaan dingen tussen hemel en aarde die niet op dit rek, die niet op de stelling van Gödel liggen.

Enige uitleg lijkt geen luxe. De stelling van Gödel zegt globaal het volgende. Men neme een wiskundig systeem. Dat bestaat in eerste instantie uit een paar axioma’s en enkele afleidingsregels. Die laatste geven aan hoe je vanuit de axioma’s stellingen kunt bewijzen. En vanuit eenmaal bewezen stellingen weer nieuwe stellingen. Met dat simpele materiaal kunnen wiskundigen langzamerhand steeds ingewikkelder stellingen bewijzen. Langzamerhand vertakt zich de boom der stellingen: in het begin een paar axioma’s en enkele simpele stellingen, maar na verloop van tijd heeft onze ambitieuze wiskundige een gigantisch netwerk van takken en zijtakken en zij-zijtakken opgebouwd, een netwerk dat zich tot in de hemel kan uitstrekken. In termen van Gödelse rekken: beneden een of twee simpele planken, maar hoe verder je naar boven komt, hoe ingewikkelder. Op ieder van die planken ligt een wiskundige stelling zoals zich in Culemborg op iedere plank een boek bevindt. De stelling van Pythagoras kom je al vrij in het begin tegen, maar voor de stelling van Gödel – want die ligt ook op zijn eigen rek! – moet je al een behoorlijke zwerftocht door de stellingenboom ondernemen.

Maar nu: tussen de takken zit ruimte. En in die ruimte zweven uitspraken, uitspraken die zomaar waar kunnen zijn, maar die niet op een plank liggen. Althans, dat is de inhoud van de stelling van Gödel: dat er ware uitspraken zijn die niet op de stelling van Gödel liggen. Met andere woorden: binnen de wiskunde bestaan er ware uitspraken die niet door de wiskunde te bewijzen zijn. Uitspraken die als het ware tussen de planken van de stelling van Gödel hangen. De stelling van Gödel heet niet voor niets de onvolledigheidsstelling.

Ho, was dit niet een puzzelrubriek? Juist, maar puzzels zijn ook wiskundige uitspraken. En in deze rubriek zullen soms eenvoudige puzzeltjes aan de orde komen. Die onderin de puzzelboom te vinden zijn, soms echter ook gecompliceerde toppuzzels. En soms, en dat zijn natuurlijk de leukste, zullen er onoplosbare, zwevende puzzels zijn. De pendanten van de onbewijsbare ware uitspraken.

We beginnen onderaan. Een muntjesprobleem. Attributen: tien stapels van elk tien muntjes. Alle muntjes wegen tien gram per stuk op de muntjes van één stapeltje na. Die wegen allemaal negen gram per stuk. De muntjes zijn visueel niet van elkaar te onderscheiden. Tot je beschikking heb je verder een weegschaal die gewichten aangeeft, geen balans dus maar een keukenweegschaal. Probleem: voer één weging uit en bepaal welk stapeltje het afwijkende stapeltje is.

Oplossing

De truc: neem van het eerste stapeltje één muntje, van het tweede stapeltje twee, van het derde drie etcetera. Het tiende stapeltje komt in zijn geheel op de weegschaal. Zouden alle muntjes tien gram wegen dan zou de weegschaal 550 gram aangeven. Maar het totale gewicht is minder, want er zitten lichte muntjes tussen. Stel dat de weegschaal 548 gram aangeeft. Dan lagen er dus twee lichte muntjes op. Maar twee lichte muntjes, die komen uit stapeltje twee. Dus dat is het afwijkende stapeltje. Klaar!

Misschien vraagt u zich af hoe ik aan die 550 gram kom. Dat is, lezer, eenvoudig de som van een tot en met tien (het aantal muntjes op de weegschaal) vermenigvuldigd met het gewicht van een muntje. Even een anekdote tussendoor: de grote wiskundige Carl Friedrich Gauss was nog niet groot maar al wel behoorlijk slim toen hij nog op de lagere school zat. Op een dag was er veel kabaal in de klas van de kleine Carl. De meester verzon een zoethoudertje: hij liet de leerlingen de getallen 1 tot en met 100 optellen, daar zouden ze wel een uurtje mee onder de pannen zijn. Helaas, binnen een minuut stond Carl voor de meester met het juiste antwoord: 5050. Toen was duidelijk dat er een grote toekomst als wiskundige voor hem was weggelegd.

Hoe de kleine Carl zo snel aan zijn oplossing kwam? Hij werkte paarsgewijs van ’buiten naar binnen’. Links stond 1, rechts 100. Samen 101 zag Carl. Eén stapje naar binnen staan 2 en 99. Weer samen 101. Nog een stapje verder 3 en 98, verdraaid alweer 101. Hoeveel van die paartjes van 101 heb ik eigenlijk vroeg Carl zich af. Even denken. Oh ja, 50 natuurlijk. Dus 50 paartjes van 101, even rekenen. Voilà meester: 5050!